Problème de Monty Hall – Simulateur en ligne et explication
Trois portes, une voiture, deux chèvres. Le candidat désigne une porte, le présentateur en ouvre une autre qui cache une chèvre, puis propose au candidat de changer son choix. La grande majorité des joueurs conserve sa porte, convaincue qu’il reste une chance sur deux. Ils perdent pourtant deux fois sur trois.
Le problème de Monty Hall est réputé pour résister à l’intuition, y compris chez les mathématiciens. Plutôt que de demander au lecteur de nous croire sur parole, le simulateur ci-dessous permet de jouer quelques parties, puis d’en faire jouer mille à l’ordinateur.
Simulateur du problème de Monty Hall
Faut-il changer de porte ? Jouez, puis laissez la simulation trancher
Principe du jeu :
Trois portes fermées. Derrière l’une se trouve une voiture, derrière les deux autres une chèvre. Vous choisissez une porte. Le présentateur, qui sait où est la voiture, ouvre alors une des deux autres portes et montre une chèvre. Il vous propose de garder votre porte ou de prendre l’autre porte encore fermée.
La plupart des gens pensent qu’il reste une chance sur deux et gardent leur choix. Le simulateur vous laisse vérifier par vous-même.
Instructions :
- Jouez quelques parties à la main : choisissez une porte, puis gardez ou changez
- Vos victoires sont comptées séparément selon que vous avez gardé ou changé
- Lancez ensuite la simulation automatique sur 100 ou 1 000 parties
Choisissez une porte.
Simulation automatique
L’ordinateur joue des parties en choisissant une porte au hasard, une fois en gardant toujours son choix, une fois en changeant toujours.
Ce que montre la simulation : en changeant de porte, on gagne environ 2 fois sur 3. En gardant sa porte, environ 1 fois sur 3.
Votre premier choix a 1 chance sur 3 d’être le bon et l’ouverture d’une porte par le présentateur n’y change rien. Les 2 chances sur 3 restantes se reportent toutes sur la seule porte fermée qu’il vous laisse : il ne peut jamais ouvrir celle de la voiture.
Explication du problème de Monty Hall
Le nom du problème est attribué à Monty Hall, animateur du jeu télévisé américain Let’s Make a Deal, diffusé à partir de 1963. Le statisticien Steve Selvin le formalise en 1975 dans une lettre adressée à la revue The American Statistician¹. La publication passe alors relativement inaperçue à cette époque.
En septembre 1990, Marilyn vos Savant répond à la question dans sa rubrique du magazine Parade et recommande de changer de porte². Elle reçoit environ 10 000 lettres, dont près d’un millier signées par des titulaires d’un doctorat, la plupart pour contester sa réponse. Sa solution était pourtant correcte et plusieurs de ses contradicteurs ont reconnu leur erreur dans les mois suivants.
Anecdote : Le mathématicien Paul Erdős, auteur de plus de 1 500 articles, a lui-même refusé la solution jusqu’à ce qu’un collègue lui présente une simulation informatique³. Le bouton “Simuler 1 000 parties” reproduit exactement cette démarche.
Pourquoi changer de porte fait gagner deux fois sur trois ?
Au moment du premier choix, la porte désignée a une chance sur trois de cacher la voiture. Les deux autres portes, prises ensemble, en ont donc deux sur trois.
Le présentateur sait où se trouve la voiture. Il ouvre systématiquement une porte cachant une chèvre et jamais celle du candidat. Son geste n’apporte par conséquent aucune information sur la porte choisie, puisqu’il aurait ouvert une porte dans tous les cas.
En revanche, il élimine une mauvaise option parmi les deux autres : les deux chances sur trois se reportent ainsi sur la seule porte qu’il laisse fermée.
Un raisonnement inverse conduit au même résultat. En changeant, le candidat gagne chaque fois que son premier choix était erroné, c’est-à-dire dans deux cas sur trois.
Pour rendre l’idée plus intuitive, il est possible d’imaginer 100 portes : le présentateur en ouvre 98 sur des chèvres et ne laisse fermées que celle du candidat et une autre. Conserver sa porte revient alors à parier qu’on avait trouvé la bonne du premier coup, avec une chance sur cent.
Les conditions implicites de l’énoncé
La stratégie consistant à changer de porte n’est gagnante que si trois règles sont respectées :
- le présentateur sait où se trouve la voiture ;
- il ouvre toujours une porte cachant une chèvre ;
- il propose systématiquement l’échange au candidat.
Si l’une de ces conditions disparaît, le calcul change. Un présentateur qui ouvrirait une porte au hasard et tomberait par chance sur une chèvre, laisserait effectivement une chance sur deux. Un présentateur qui ne proposerait l’échange qu’aux candidats ayant déjà choisi la voiture rendrait le changement systématiquement perdant. Une partie des controverses de 1990 provenait de ces règles, rarement précisées dans les énoncés publiés.
Les biais qui poussent à garder sa porte
Les travaux de Donald Granberg et Thad Brown montrent que la majorité des participants conserve son choix initial, y compris après plusieurs défaites⁴. Le calcul erroné n’explique pas à lui seul ce comportement. Plusieurs biais cognitifs se combinent :
- l’illusion d’équiprobabilité, qui conduit à attribuer une chance égale à chaque option restante ;
- le biais du statu quo, qui favorise l’option déjà choisie ;
- l’effet de dotation, qui donne une valeur supérieure à “sa” porte ;
- le regret anticipé, qui rend une perte après changement plus pénible qu’une perte après fidélité au premier choix, bien que le résultat soit identique.
Il est intéressant de noter qu’en 2010, Walter Herbranson et Julia Schroeder ont soumis le problème à des pigeons⁵. Après de nombreuses répétitions, les oiseaux ont appris à changer de porte dans la quasi-totalité des essais, tandis que les participants humains progressaient beaucoup plus lentement. Dépourvus d’attachement au premier choix et de regret à éviter, les pigeons suivent simplement la stratégie la plus récompensée.
Ce que montre le simulateur
Sur 100 parties, les fluctuations aléatoires restent sensibles : le changement de porte peut l’emporter dans 58 % des parties, ou dans 74 %. Sur 1 000 parties, les deux courbes se stabilisent autour de 67 % et 33 %. La loi des grands nombres rend alors visible ce que l’intuition peine à accepter.
Comment mieux raisonner face à ce type de problème
Plusieurs stratégies aident à éviter le piège :
- identifier ce que sait l’acteur qui révèle l’information : un choix informé ne transmet pas la même information qu’un choix aléatoire ;
- multiplier les cas en imaginant 100 portes ou 100 parties, afin de rendre les proportions perceptibles ;
- simuler lorsque le raisonnement résiste : quelques parties jouées ou simulées suffisent souvent à corriger l’intuition ;
- dissocier la décision du regret anticipé, en évaluant les options sur leur probabilité de succès plutôt que sur l’émotion attendue en cas d’échec.
Questions fréquentes sur le problème de Monty Hall
Faut-il toujours changer de porte au jeu de Monty Hall ?
Dans la version classique, où le présentateur connaît l’emplacement de la voiture et ouvre une porte perdante, changer permet de gagner deux fois sur trois.
Pourquoi la probabilité n’est-elle pas de 50 % après l’ouverture d’une porte ?
Le présentateur ne choisit pas la porte au hasard. Son choix dépend de l’emplacement de la voiture et cette information se reporte sur la porte qu’il laisse fermée.
Le problème de Monty Hall est-il un véritable paradoxe ?
Il s’agit d’un paradoxe au sens où la bonne réponse contredit l’intuition. Sur le plan mathématique, en revanche, il ne comporte aucune contradiction.
D’autres pièges du raisonnement probabiliste sont présentés sur nos ressources les biais de raisonnement et l »illusion de contrôle.
Références
- ¹ Selvin, S. (1975). A problem in probability [Lettre à l’éditeur]. The American Statistician, 29(1), 67.
- ² vos Savant, M. (1990). Ask Marilyn. Parade Magazine, 9 septembre 1990 et rubriques suivantes.
- ³ Hoffman, P. (1998). The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. New York : Hyperion.
- ⁴ Granberg, D., & Brown, T. A. (1995). The Monty Hall dilemma. Personality and Social Psychology Bulletin, 21(7), 711-723.
- ⁵ Herbranson, W. T., & Schroeder, J. (2010). Are birds smarter than mathematicians? Pigeons (Columba livia) perform optimally on a version of the Monty Hall Dilemma. Journal of Comparative Psychology, 124(1), 1-13.
