Calculateur de taux de base – Outil interactif du théorème de Bayes
Une maladie touche une personne sur cent. Un test de dépistage détecte 99 % des malades et ne se trompe que chez 1 % des personnes en bonne santé. Le résultat d’un patient est positif. La probabilité qu’il soit réellement malade est de 50 %.
La plupart des personnes interrogées répondent 99 %, ou une valeur proche. L’écart entre cette réponse intuitive et le résultat du calcul correspond à un biais cognitif bien documenté : l’oubli du taux de base. Le calculateur ci-dessous permet de le constater, puis d’explorer l’effet de chaque paramètre.
Calculateur de taux de base
Test positif : quelle est la vraie probabilité d’être malade ?
La question :
Probabilité d’être malade si le test est positif :
Avec une prévalence de 1 %, une sensibilité de 99 % et 1 % de faux positifs, sur 10 000 personnes testées : 100 sont malades et 99 d’entre elles ont un test positif ; 9 900 sont saines et 99 d’entre elles ont aussi un test positif. Parmi les 198 tests positifs, 99 seulement concernent des malades, soit 50 %.
Qu’est-ce que l’oubli du taux de base ?
L’oubli du taux de base, ou négligence de la fréquence de base, désigne la tendance à juger une probabilité à partir d’une information spécifique, comme un résultat de test ou un témoignage, en négligeant la fréquence générale de l’événement.
Dans l’exemple ci-dessus, la fiabilité du test (99 %) occupe toute l’attention, tandis que la rareté de la maladie (1 %) est ignorée.
Le calcul correct repose sur le théorème de Bayes. Trois notions sont nécessaires pour l’appliquer :
- la prévalence : la proportion de malades dans la population testée ;
- la sensibilité : la proportion de malades correctement détectés par le test ;
- le taux de faux positifs : la proportion de personnes saines dont le test est positif à tort.
La probabilité d’être malade lorsque le test est positif, appelée valeur prédictive positive, s’obtient en divisant le nombre de vrais positifs par le nombre total de tests positifs.
Pourquoi raisonner en nombre de personnes plutôt qu’en pourcentage
Le calcul devient plus intuitif lorsque l’on remplace les pourcentages par des effectifs. Considérons 10 000 personnes testées. Avec une prévalence de 1 %, 100 sont malades, et le test en détecte 99.
Les 9 900 autres personnes sont en bonne santé. Le test se trompe chez 1 % d’entre elles : 99 personnes saines obtiennent donc un résultat positif. Au total, 198 tests sont positifs, dont 99 concernent des malades et 99 des personnes saines. Un test positif correspond ainsi une fois sur deux à une véritable maladie.
Le poids de la prévalence
La valeur d’un résultat positif dépend moins de la fiabilité du test que de la fréquence de la maladie. Avec le même test fiable à 99 %, les résultats varient fortement selon la population :
- si la maladie touche une personne sur dix, un test positif correspond à une probabilité de 92 % d’être malade ;
- si elle touche une personne sur cent, cette probabilité tombe à 50 % ;
- si elle touche une personne sur mille, elle n’est plus que de 9 %.
Par conséquent, un dépistage appliqué à l’ensemble de la population produit beaucoup plus de faux positifs que le même examen réalisé chez des patients présentant déjà des symptômes. C’est la raison pour laquelle un résultat positif est généralement confirmé par un second examen, plus spécifique.
Les études chez les médecins
En 1978, Ward Casscells et ses collègues soumettent un problème de ce type à 60 étudiants et médecins de la faculté de médecine de Harvard¹.
La maladie touche une personne sur mille et le test produit 5 % de faux positifs. La réponse correcte est d’environ 2 %. Seuls 11 participants sur 60 la trouvent, et la réponse la plus fréquente est 95 %.
En 1982, David Eddy rapporte des résultats comparables pour l’interprétation de la mammographie².
Les médecins interrogés surestiment d’un facteur dix environ la probabilité de cancer après un examen positif.
Le calculateur reprend ces deux situations dans ses exemples, ainsi que les chiffres utilisés par Gerd Gigerenzer et Ulrich Hoffrage en 1995 : 1 % de prévalence, 80 % de sensibilité et 9,6 % de faux positifs, soit une probabilité de cancer de 7,8 % en cas de résultat positif³.
Les fréquences naturelles, une solution étudiée
Gerd Gigerenzer a consacré une grande partie de ses recherches à ce problème. Selon lui, l’erreur provient en grande partie du format dans lequel les informations sont présentées. Les pourcentages conditionnels, comme “99 % des malades” ou “1 % des personnes saines”, se combinent difficilement. Les nombres de personnes rapportés à une population de référence, qu’il nomme fréquences naturelles, facilitent nettement le calcul.
Avec Ulrich Hoffrage, il montre en 1995 que la présentation en fréquences naturelles fait passer la proportion de bonnes réponses d’environ 16 % à 46 %, sans aucune formation préalable³. Lors de sessions de formation organisées en 2006 et 2007, la proportion de gynécologues capables d’interpréter correctement une mammographie positive passe d’environ 21 % à 87 % après une courte initiation à cette méthode⁴. Le calculateur applique ce principe en présentant systématiquement le raisonnement en nombre de personnes, accompagné d’une grille de 1 000 carrés.
Limites du biais de l’oubli de la fréquence de base
Les fréquences naturelles améliorent nettement les performances, sans faire disparaître toutes les erreurs : une part notable des participants continue de se tromper, en particulier ceux qui ont peu d’aisance avec les nombres.
Par ailleurs, la vie réelle présente rarement les informations sous une forme aussi épurée que dans les études.
Les chercheurs débattent également de la nature du biais : pour Daniel Kahneman et Amos Tversky, il traduit l’usage d’heuristiques qui négligent les informations statistiques. Pour Gigerenzer, il révèle surtout une inadéquation entre le format des données et les capacités de raisonnement humaines. Ces deux lectures mènent à des réflexions différentes : former les décideurs dans un cas, modifier la présentation des informations dans l’autre.
Exemples d’oubli du taux de base dans le contexte professionnel
L’oubli du taux de base intervient dans tous les domaines où l’on cherche à détecter un événement rare :
- la médecine, pour l’interprétation des dépistages de masse ;
- la lutte contre la fraude, puisqu’un logiciel fiable à 99 % qui surveille des millions de transactions honnêtes produit surtout des fausses alertes ;
- la sécurité, avec les détecteurs de mensonge ou la reconnaissance faciale appliquée à une foule ;
- la justice, comme le montre le problème du taxi de Kahneman et Tversky⁵.
Dans ce dernier problème, 85 % des taxis d’une ville sont verts et 15 % sont bleus. Un témoin affirme avoir vu un taxi bleu impliqué dans un accident et identifie correctement les couleurs dans 80 % des cas. La plupart des personnes estiment à 80 % la probabilité que le taxi soit bleu. Le calcul bayésien donne 41 %, car les taxis verts sont si nombreux que les erreurs du témoin à leur sujet pèsent davantage que ses identifications correctes des taxis bleus.
Comment éviter l’oubli du taux de base
Plusieurs stratégies permettent de limiter ce biais :
- rechercher systématiquement la prévalence avant d’interpréter un résultat de test ou un indice ;
- convertir les pourcentages en effectifs, en raisonnant sur 1 000 ou 10 000 personnes ;
- distinguer la fiabilité d’un test de la valeur d’un résultat, deux notions souvent confondues ;
- demander un second examen indépendant avant toute décision lourde de conséquences fondée sur un résultat positif.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la valeur prédictive positive ?
Il s’agit de la probabilité d’être réellement malade lorsque le test est positif. Elle dépend de la sensibilité du test, de son taux de faux positifs et de la prévalence de la maladie.
Comment un test fiable à 99 % peut-il se tromper une fois sur deux ?
Les personnes saines sont beaucoup plus nombreuses que les malades. Un taux d’erreur de 1 % appliqué à une large population produit autant de faux positifs qu’il y a de vrais malades détectés.
Pour approfondir, consultez notre article sur l’oubli de la fréquence de base et notre page sur l’heuristique de représentativité. D’autres pièges du raisonnement probabiliste sont présentés dans notre page sur les biais de raisonnement.
Références
- ¹ Casscells, W., Schoenberger, A., & Graboys, T. B. (1978). Interpretation by physicians of clinical laboratory results. The New England Journal of Medicine, 299(18), 999-1001.
- ² Eddy, D. M. (1982). Probabilistic reasoning in clinical medicine: Problems and opportunities. In D. Kahneman, P. Slovic & A. Tversky (Eds.), Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases (pp. 249-267). Cambridge : Cambridge University Press.
- ³ Gigerenzer, G., & Hoffrage, U. (1995). How to improve Bayesian reasoning without instruction: Frequency formats. Psychological Review, 102(4), 684-704.
- ⁴ Gigerenzer, G., Gaissmaier, W., Kurz-Milcke, E., Schwartz, L. M., & Woloshin, S. (2007). Helping doctors and patients make sense of health statistics. Psychological Science in the Public Interest, 8(2), 53-96.
- ⁵ Tversky, A., & Kahneman, D. (1982). Evidential impact of base rates. In D. Kahneman, P. Slovic & A. Tversky (Eds.), Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases (pp. 153-160). Cambridge : Cambridge University Press.
